El máximo ocurre en el vértice, \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{150}{2 \times -5} = 15 \).

["# El Máximo Ocurre en el Vértice: ( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{150}{2 \ imes -5} = 15 )", "Cuando se trabaja con funciones cuadráticas, uno de los conceptos más importantes es el vértice de la parábola, que representa el punto máximo o mínimo de la gráfica. En este artículo exploraremos cómo encontrar el valor de ( x ) donde ocurre este vértice —el máximo valor cuando la parábola se abre hacia abajo— y aplicaremos la fórmula clásica con soporte en un ejemplo concreto, como ( x = -\frac{b}{2a} ), donde en este caso el resultado es ( x = 15 ).", "## ¿Qué es el Vértice de una Parábola?", "El vértice es el punto en la gráfica de una función cuadrática ( f(x) = ax^2 + bx + c ) donde se alcanza el valor máximo (si ( a < 0 )) o el mínimo (si ( a > 0 )). Este punto puede interpretarse como el “pico” o “valle” de la curva.", "La coordenada ( x ) del vértice se calcula con la fórmula:", "[\nx = -\frac{b}{2a}\n]", "Esta fórmula se deriva completando el cuadrado o usando cálculo diferencial, y permite localizar eficientemente el punto clave sin necesidad de graficar la función.", "## ¿Por qué ( x = -\frac{b}{2a} )?", "La derivación se basa en reescribir la función cuadrática:", "[\nf(x) = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\n]", "El término ( a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 ) representa un cuadrado perfecto no negativo (es siempre mayor o igual a cero), por lo que el valor mínimo (o máximo, según signo de ( a )) ocurre cuando ese término es cero:", "[\nx + \frac{b}{2a} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{2a}\n]", "Así, este valor define precisamente el eje de simetría de la parábola.", "## Aplicación Práctica: Encontrar el Máximo en ( x = 15 )", "Como ejemplo práctico, consideremos la función:", "[\nf(x) = -5x^2 - 150x + c \quad (donde ( a = -5 ), ( b = -150 ))\n]", "Para encontrar el valor de ( x ) donde alcanza su máximo, usamos la fórmula del vértice:", "[\nx = -\frac{b}{2a} = -\frac{-150}{2 \ imes (-5)} = -\frac{150}{-10} = 15\n]", "Por lo tanto, el máximo valor de ( f(x) ) ocurre en ( x = 15 ). Este resultado combina precisión algebraica con una clara interpretación: la parábola alcanza su punto cumbre – el máximo – justo en ese valor.", "## Importancia en Estudio y Aplicaciones", "Conocer el vértice es esencial no solo en matemáticas teóricas, sino también en optimización, economía, física y tecnología. Por ejemplo:", "- En física, el vértice puede modelar la altura máxima de un proyectil.\n- En economía, sirve para encontrar el punto óptimo de ingresos máximos.\n- En ingeniería, ayuda a determinar valores de diseño que maximizan eficiencia.", "## Conclusión", "El cálculo del vértice mediante ( x = -\frac{b}{2a} ) es una herramienta fundamental en el estudio de funciones cuadráticas. En el caso particular donde ( a = -5 ) y ( b = -150 ), obtenemos que el máximo ocurre en ( x = 15 ), un punto determinante que refleja el equilibrio matemático de la parábola. Dominar este concepto permite entender y resolver problemas reales con factor de precisión y claridad.", "---", "Palabras clave: vértice cuadrática, máximo en parábola, fórmula del vértice, ( x = -\frac{b}{2a} ), función cuadrática, optimización matemática, cálculo de puntos extremos."]